Exemple 2 : Problème de médecine

Un spécialiste en médecine a fabriqué un médicament (des pilules) pour guérir les sujets atteints d’un rhume. Ces pilules sont fabriquées selon deux formats :

• Petite taille : elle contient 2 grains d’aspirine, 5 grains de bicarbonate et 1 grain de codéine.
• Grande taille : elle contient 1 grain d’aspirine, 8 grains de bicarbonate et 6 grains de codéine.

Pour guérir la maladie, le sujet a besoin de 12 grains d’aspirine, 74 grains de bicarbonate et 24 grains de codéine. Déterminer le nombre de pilules minimales à prescrire au sujet pour qu’il soit guérit.

Le problème de médecine présente certaines ressemblances avec le problème de l’agriculture, dans les deux cas c’est un problème d’allocation de ressources.

Les variables de décision qui représentent des valeurs inconnues par le décideur qui est dans ce cas le spécialiste en médecine sont :

• x₁ : le nombre de pilules de petite taille à prescrire.
• x₂ : le nombre de pilules de grande taille à prescrire.

On vérifie bien que les variables de décision x₁ et x₂ sont positives : .

Les contraintes imposées par le problème sur les valeurs possibles de x₁ et x₂ sont :

• La prescription doit contenir des pilules avec au moins 12 grains d’aspirine. Sachant qu’une petite pilule contient 2 grains d’aspirine et qu’une grande pilule contient un seul grain d’aspirine, on obtient la contrainte suivante : .
• De la même façon que pour l’aspirine, la prescription du spécialiste en médecine doit contenir au moins 74 grains de bicarbonate. Ainsi la contrainte suivante doit être satisfaite : .
• Finalement la contrainte imposée par le fait que la prescription doit contenir au moins 24 grains de codéine est

.

Etape 3 : Identification de la fonction objectif. On remarque qu’il y a plusieurs couples de solutions qui peuvent satisfaire les contraintes spécifiées à l’étape 2. La prescription doit contenir le minimum possible de pilules. Donc le critère de sélection de la quantité de pilules à prescrire est celle qui minimise le nombre total des pilules .

Le programme linéaire qui modélise ce problème médical est donc le suivant :